Тема: Почему правильный музыкальный тон зависит от длины, а не толщины спицы

Автор: Джон "Good Vibrations" Аллен, sheldonbrown.com

Перевод: Павел Зоря для krokovod.org

Основная частота колебаний натянутой струны или проволоки изменяется в соответствии с приведенной ниже формулой, которая получена на основании основных физических законов (1).

Почему правильный музыкальный тон зависит от длины, а не толщины спицы

где

F1 = основная частота в циклах в секунду
L = длина струны
T = натяжение струны в фунтах или динах
m = масса на единицу длины в фунтах/дюйм (lb/in) или г/см (gm/cm)

Площадь поперечного сечения спицы и масса на единицу длины m точно пропорциональны друг другу. Таким образом, для двух разных струн или проволок равной длины, одна из которых толстая, а другая – тонкая, частота будет одинаковой, если натяжение на единицу площади поперечного сечения будет равным. Один из способов обдумать это – представить две одинаковые, расположенные рядом спицы равной толщины, которые одинаково натянуты. Они колеблются с одинаковой частотой. Теперь представьте, что слегка соединяете их между собой по всей длине. Они все еще колеблются с одинаковой частотой. Наконец, представьте, что они объединены в одну более толстую спицу. Она по-прежнему колеблется с такой же частотой.

Эти факты значительно упрощают сборщикам колес измерение натяжения спиц. Чтобы определить, что спица натянута оптимально, нам не нужно измерять толщину, или, что сложнее, натяжение, поскольку музыкальный тон прямо соответствует натяжению на единицу площади поперечного сечения.

Заметьте, что основная частота колебаний спицы возрастает только как квадратный корень натяжения. Таким образом, каждое удвоение частоты – одна музыкальная октава – повышает натяжение с коэффициентом 4. Спица, основная частота которой только в 1,2 раза выше значения, приведенного в таблице – на малую терцию выше – натянута более, чем в 1,4 раза сильнее и вероятно быстро выйдет из строя.

Велосипедные спицы редко выходят из строя из-за чрезмерного натяжения; но обод может не выдержать и когда обод ослабнет у отверстий для спиц, колесо выйдет из строя. Весовая нагрузка на колесо существенно снижает натяжение нескольких спиц в нижней части колеса и лишь немного повышает натяжение остальных спиц, но боковая нагрузка при движении велосипеда из стороны в сторону во время педалирования стоя существенно увеличивает натяжение спиц и может стать причиной быстрой поломки перетянутого колеса (2). Я встречал собранные "с нуля" колеса, которые выходили из строя при первой же поездке. Они были натянуты примерно в 1,5 раза выше значения, которое я рекомендую и были собраны на высококачественных алюминиевых ободах коробчатого сечения.

Спица, основная частота которой составляет 0,83 от номинального значения, которое я рекомендую – на малую терцию ниже – имеет только 70% оптимального натяжения, а колесо, собранное с таким уровнем натяжения, сможет нести только 70% веса от того, который смогло бы выдержать при надлежащей натяжке. В плохо натянутом колесе вероятнее всего сломаются спицы или нарушится центровка, так как спицы будут сильно провисать под серьезной нагрузкой.  Избыточное движение в недостаточно натянутом колесе – это причина, по которой ломаются спицы и откручиваются ниппели.

При увеличении толщины проволоки наша формула для музыкального тона становится несколько неточной. Обычный пример этого явления – подставка для струн (бридж) гитары со стальными струнами.  Басовые струны гитары сделаны из более толстой проволоки, большая жесткость на изгиб которых суммируется с жесткостью, создаваемой натяжением струн. Колеблющаяся часть струны (часть между бриджем и ладом или бриджем и верхним порожком, если лад не зажимается) является, при первом приближении, зажатой и номинально слегка короче, чем фактическая длина. Поэтому бридж гитары не расположен под прямым углом к струнам, а наклонен, чтобы удлинить басовые струны, чтобы они звучали в унисон на всех зажимаемых на грифе ладах. Более сложные гитарные бриджи позволяют регулировать каждую струну отдельно.

Расхождение, которое компенсирует бридж гитары невелико. Даже для велосипедных спиц, которые намного толще гитарных струн, регулировка составляет лишь несколько процентов. Таблица в сопутствующей статье включает правки, которые я вывел эмпирически, измеряя музыкальный тон зажатых на разной длине натянутых спиц.

Часть спицы с внешнего конца находится внутри ниппеля, а часть внутреннего конца соприкасается со втулкой. Эти части не могут влиять на колеблющийся участок спицы. Таблица также учитывает этот факт. Окончания баттированных спиц ощутимо толще, чем остальная часть спицы, поэтому окончания таких спиц незначительно влияют на фактическую колеблющуюся длину. Это, а также большая жесткость на концах баттированной спицы, объясняют более высокий музыкальный тон, рекомендуемый мной для баттированных спиц.

Предел текучести хорошей стали составляет около 150 000 фунтов на квадратный дюйм или 1,04 х 1010 дин/см2, а натяжение, рекомендованное в таблице, составляет 1/3 от этой величины, около 50 000 фунтов на квадратный дюйм или 3,45 х 109 дин/см2.

Сравнивались результаты измерения натяжения спиц с помощью промышленного тензометра и используя музыкальный тон. Результаты измерения были опубликованы. Они показали хорошую корреляцию (3).

***

1. Производная этой формулы приведена, например, в книге М. Алонсо и Э. Финна "Фундаментальная физика для университетов т.2, Поля и волны", 1967 год, издательство Addison Wesley, раздел 18-7 (Alonso and Finn, Fundamental University Physics vol. 2, Fields and Waves (1967, Addison Wesley), section 18-7).

2. Из проведенного здесь анализа следует, что изменения натяжения спиц в велосипедном колесе под нагрузкой могут быть просто и элегантно продемонстрированы измерением изменений их музыкального тона. Проще всего это сделать на колесе с радиальным набором спиц или таком, где спицы не перекрещиваются.

3. Джон С. Аллен, Сравнение измерений натяжения велосипедных спиц, используя механический тензометр и музыкальный тон, журнал Human Power №53, стр. 3 (John S. Allen, Comparison of measurements of bicycle spoke tension using a mechanical tensiometer and musical pitch, Human Power #53, page 3).

Cycling is like church - many attend, but few understand